Distância de Correlação: Calculadora Interativa, Fórmula e Guia

O que é a Distância de Correlação?

Diferente de métricas como a Distância Euclidiana, que mede o espaço geométrico entre pontos, a Distância de Correlação mede a dissimilaridade entre os padrões ou tendências de dois vetores de dados. Ela não se importa com a magnitude absoluta dos valores, mas sim com a forma como eles variam juntos.

Pense em dois ativos financeiros: o Ativo A vale R$100 e o Ativo B vale R$10. Se ambos sobem 10% em um dia e caem 5% no outro, sua distância Euclidiana é grande, mas sua Distância de Correlação será muito baixa, pois eles se movem em perfeita sincronia.

Ela é derivada do famoso coeficiente de correlação de Pearson (ρ), que varia de -1 (perfeitamente anti-correlacionados) a +1 (perfeitamente correlacionados). A distância simplesmente transforma essa medida de similaridade em uma de dissimilaridade, geralmente pela fórmula d = 1 - ρ.

💡 Fórmula e Seus Componentes

A jornada para a Distância de Correlação começa com o cálculo do Coeficiente de Correlação de Pearson (ρ).

Coeficiente de Correlação de Pearson (ρ)

Para dois vetores X e Y de mesmo tamanho n:

ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σₓ * σᵧ)

Isso significa que a correlação é a covariância dos dois vetores dividida pelo produto de seus desvios padrão.

Distância de Correlação (d)

Uma vez que ρ é conhecido, a distância é trivial:

d(X,Y) = 1 - ρ(X,Y)

📝 Desvendando os Termos

cov(X,Y): A covariância mede a direção da relação linear. Um valor positivo significa que X e Y tendem a aumentar juntos. Um valor negativo significa que quando um aumenta, o outro tende a diminuir.
σₓ e σᵧ: O desvio padrão de X e Y, respectivamente. Mede a dispersão dos dados em torno de sua média. Normalizar pela multiplicação dos desvios padrão garante que o coeficiente de correlação fique sempre entre -1 e 1.

🔑 Propriedades Fundamentais

Entender as propriedades da Distância de Correlação (d = 1 - ρ) revela seu poder e limitações.

1. Intervalo de [0, 2]

A distância está contida no intervalo de 0 a 2. Cada valor tem um significado claro:
- d = 0: Similaridade máxima (ρ = 1). Os vetores se movem em perfeita sincronia.
- d = 1: Ausência de correlação linear (ρ = 0). Não há padrão linear entre as variações.
- d = 2: Dissimilaridade máxima (ρ = -1). Os vetores se movem em direções perfeitamente opostas.
2. Invariância à Escala e Translação

Esta é sua propriedade mais poderosa. Se você multiplicar todos os valores de um vetor por uma constante ou somar um valor a todos eles, a distância de correlação com outro vetor não muda. É por isso que ela foca no "formato" dos dados, não na sua magnitude ou localização.
3. Não é uma Métrica Estrita

A fórmula 1 - ρ não satisfaz a desigualdade triangular em todos os casos, o que tecnicamente a impede de ser uma "métrica" verdadeira. No entanto, na prática, ela funciona perfeitamente como uma medida robusta de dissimilaridade para muitas aplicações, como o clustering.

🎯 Aplicações Práticas

A Distância de Correlação é crucial onde a relação de tendência supera a magnitude dos dados.

🧬 Bioinformática e Genômica

Usada para agrupar genes com padrões de expressão semelhantes em diferentes condições (análise de co-expressão). Genes com baixa distância de correlação podem estar funcionalmente relacionados, mesmo com níveis de expressão diferentes.

💹 Análise Financeira

Essencial para a diversificação de portfólios. Investidores buscam ativos com alta distância de correlação (baixa ou negativa correlação) para mitigar riscos, pois eles não tendem a cair ao mesmo tempo.

📊 Machine Learning

Em algoritmos de clustering para agrupar séries temporais. Por exemplo, agrupar clientes com padrões de consumo semelhantes ao longo do ano, independentemente do volume total de compras.

🛒 Sistemas de Recomendação

Para encontrar usuários com gostos semelhantes (filtragem colaborativa). Se dois usuários tendem a avaliar os mesmos filmes de forma parecida (altas notas para os mesmos gêneros, baixas para outros), sua distância de correlação é baixa, mesmo que um use uma escala de 1-5 e outro de 1-10.

🔬 Calculadora Interativa

Insira dois vetores de dados (separados por vírgula) para calcular as estatísticas e visualizar a relação. Observe como a linha de tendência e a Distância de Correlação mudam com diferentes padrões de dados.

Vetor X

Ex: 1, 2, 3, 4, 5

Vetor Y

Ex: 2, 4, 5, 4, 6

Média X (x̄):

N/A

Média Y (ȳ):

N/A

Desvio Padrão X (σₓ):

N/A

Desvio Padrão Y (σᵧ):

N/A

Covariância(X,Y):

N/A

Coef. Correlação (ρ):

N/A

Distância de Correlação:

N/A

Gráfico de dispersão dos pontos (Xᵢ, Yᵢ) com linha de melhor ajuste.